величина α = 1 – k = (a – b) / a – сжатие эллипса. Эллипс обладает симметрией относительно большой и малой осей и относительно своего центра.

Каноническое уравнение эллипса: x^>2 / a^>2 + y^>2 / b^>2 = 1.

Другое определение эллипса: эллипс есть геометрическое место точек (М), сумма расстояний которых до двух данных точек F, F_>1 имеет одно и то же значение 2а (F_>1M + FM = 2a) (рис. 4).

Рис. 4

Точки F и F_>1 называются фокусами эллипса, а отрезок FF_>1 – фокусным расстоянием, обозначается FF_>1 = 2с, причем с < а. Эксцентриситет эллипса ε – это отношение фокусного расстояния к большой оси ε = с / а. Эксцентриситет эллипса меньше единицы, имеем: k^>2 = 1 – ε^>2.

Гипербола – это геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух данных точек F, F_>1 имеет одно и то же абсолютное значение (рис. 5). |F_>1M – FM| = 2a. Точки F, F_>1 называются фокусами гиперболы, расстояние FF_>1 = 2c – фокусным расстоянием. Справедливо: c > a.

Каноническое уравнение гиперболы: х^>2 / а^>2 + у^>2 / (а^>2 – с^>2) = 1. Асимптоты гиперболы заданы уравнениями у = bx / a и y = – bx / a (b^>2 = c^>2 – a^>2).

Парабола – это геометрическое место точек равноудаленных от данной точки F (фокуса параболы) и данной прямой PQ(директрисы параболы). Расстояние от фокуса до директрисы FC называется параметром параболы и обозначается р. Вершина параболы – точка О. Каноническое уравнение параболы: у^>2 = 2рх.

Рис. 5

Всякая поверхность в пространстве определяется уравнением вида f(x, y, z) = 0.

Общее уравнение плоскости:Ах + Ву + Сz + D = 0. Если А, В, С, D не равны нулю, то уравнение называется полным.

При D = 0 уравнение Ах + Ву + Сz = 0 определяет плоскость, проходящую через начало координат.

Если А = 0, то уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ох. Если два из коэффициентов А, В, С равны нулю одновременно, то уравнение определяет плоскость, параллельную одной из координатных плоскостей: при А = 0 и В = 0 параллельно плоскости хОу, при А = 0 и С = 0 параллельно хОz, при В = 0 и С = 0 параллельно yOz. Уравнение Cz = 0 определяет плоскость xOy, By = 0 – плоскость xOz, Ax = 0 – плоскость yOz. Уравнение плоскости в «отрезках»: х / а + у / b + z / c = 1. Расстояние от точки М (х_>1, у_>1, z_>1) до плоскости:

Пусть имеются две плоскости А_>1х + В_>1у + С_>1z + D_>1 = 0 и А_>2х + В_>2у + С_>2z + D_>2 = 0. Угол φ между этими плоскостями:

Условие равенства двух плоскостей: А_>1/ А_>2 = В_>1/ В_>2 = С_>1 / С_>2 = D_>1 / D_>2. Условие параллельности плоскостей: А_>1 / А_>2 = В_>1 / В_>2 = С_>1 / С_>2. Условие перпендикулярности плоскостей: А_>1А_>2 + В_>1В_>2 + С_>1С_>2 = 0. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М (х_>1, у_>1, z_>1) параллельно плоскости, заданной уравнением Ах + Ву + Сz + D = 0: А(х – x_>1) + В(у – y_>1) + С(z – z_>1) + D = 0. Уравнение плоскости, проходящей через три точки М_>1 (х_>1, у_>1, z_>1), М_>2 (х_>2, у_>2, z_>2), М_>3 (х_>3, у_>3, z_>3):

Уравнение плоскости, проходящей через две точки М_>1(х_>1, у_>1, z_>1) и М_>2(х_>2, у_>2, z_>2) перпендикулярно к плоскости, заданной уравнением A_>x + B_>y + C_>z + D = 0:

Уравнение плоскости, проходящей через точку М_>1 (х_>1, у_>1, z_>1) перпендикулярно двум непараллельным плоскостям А_>1х + В_>1у + С_>1z + D_>1 = 0 и А_>2х + В_>2у + С_>2z + D_>2 = 0, имеет вид:

Имеем три плоскости, заданные общими уравнениями:

Всякая прямая определяется в пространстве системой двух уравнений

Канонические (симметричные) уравнения прямой: (x – x_>0) / m = (y – y_>0) / p = (z – z_>0) / q, прямая проходит через точку M_>0 (x_>0, y_>0, z_>0). Угол φ между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями: