Если две прямые пучка L>1 и L>2 соответственно имеют вид (А>1х + В>1у + С>1) = 0 и (А>2х + В>2у + С>2) = 0, то уравнение пучка: m>1(А>1х + В>1у + С>1) + m>2(А>2х + В>2у + С>2) = 0. Если прямые L>1 и L>2 пересекающиеся, то пучок центральный, если прямые параллельны, то и пучок параллельный.
6. Пусть даны точка М (х>1, у>1) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Расстояниеd от этой точкиМдо прямой:
3. Полярные параметры прямой. Нормальное уравнение прямой. Преобразование координат
Полярными параметрами прямой L будут полярное расстояниер (длина перпендикуляра, проведенного к данной прямой из начала координат) и полярный уголα (угол между осью абсцисс ОХ и перпендикуляром, опущенным из начала координат на данную прямую L). Для прямой, представленной уравнением Ах + Ву + С = 0: полярное расстояние
полярный угол α
причем при C > 0 берется верхний знак, при C < 0 – нижний знак, при С = 0 знаки берутся произвольно, но либо оба плюса, либо оба минуса.
Нормальное уравнение прямой (уравнение в полярных параметрах) (cм. рис. 2): x cosα + y sinα – p = 0. Пусть прямая представлена уравнением вида Ах + Ву + С = 0. Чтобы данное уравнение привести к нормальному виду необходимо последнее разделить на выражение
Рис. 2
После деления получается нормальное уравнение данной прямой:
Пусть имеется прямая L, которая пересекает оси координат. Тогда данная прямая может быть представлена уравнением в отрезках х / а + у / b = 1. Справедливо: если прямая представлена уравнением х / а + у / b = 1, то она отсекает на осях отрезки а, b.
Преобразование координат возможно путем переноса начала координат, или поворотом осей координат, или совместно переносом начала и поворотом осей.
При переносе начала координат справедливо следующее правило: старая координата точки равна новой, сложенной с координатой нового начала в старой системе. Например, если старые координаты точки М были х, у, а координаты нового начала в старой системе О*(х>0, у>0), то координаты точки М в новой системе координат с началом в точке О* будут равны х – х>0, у – у>0 т. е. справедливо следующее х = х* + х>0, у = у* + у>0 или х* = х – х>0, у* = у – у>0 (* новые координаты точки).
При повороте осей на некоторый угол φ справедливы следующие формулы (где х, у – старые координаты точки; х*, у* – новые координаты этой же точки):
x = x* cosα – y* sinα;
y = x* sinα + y* cosα
или
x* = x cosα + y sinα;
y* = – x sinα + y cosα.
4. Порядок алгебраических линий. Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола
Линия L, представленная в декартовой системе уравнением n–степени называется алгебраической линиейn–порядка.
Окружность с радиусом R и центром в начале координат описывается уравнением: х>2 + у>2 = R>2, если центром окружности является некоторая точка С (а, b), то уравнением:
(х – а)>2 + (у – b)>2 = R>2.
Чтобы уравнение Ах>2 + Вх + Ау>2 + Су + D = 0 описывало окружность, необходимо, чтобы оно не содержало члена с произведением ху, чтобы коэффициенты при х>2 и у>2 были равны, чтобы В>2 + С>2 – 4АD > 0 (при невыполнении данного неравенства уравнение не представляет никакой линии).
Координаты центра окружности, описанной уравнением Ах>2 + Вх + Ау>2 + Су + D = 0 и ее радиус: a = –B / 2A, b = –C / 2A, R>2 = (В>2 + С>2 – 4АD) / 4A>2.
Эллипс – сжатая окружность (рис. 3).
Рис. 3
Прямая АА>1 называется осью сжатия, отрезок АА>1 = 2а – большой осью эллипса, отрезок ВВ>1 = 2b – малой осью эллипса (a > b) точка О – центром эллипса, точки А, А>1, В, В>1 – вершинами эллипса. Отношение k = b / aкоэффициент сжатия