5) А0 = 0А = 0;

6) (АВ)^>т = А^>тВ^>т.

При умножении двух ненулевых матриц может получиться нулевая матрица.

Определителем второго порядка, соответствующим матрице

Свойства определителя:

1) величина определителя не меняется, если заменить его строки соответствующими столбцами или если к элементам какой–либо его строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и тоже число;

2) определитель поменяет знак при перемене мест его строк или столбцов;

3) определитель будет равен нулю, если элементы какого–либо столбца (или строки) равны нулю или элементы двух строк (или столбцов) соответственно равны.

МиноромM_>ik элемента a_>ik определителя IАI называется определитель полученный из А вычеркиванием той строки и того столбца которым принадлежит этот элемент.

Алгебраическим дополнениемA_>ik элемента a определителя |A| называется его минор, взятый со знаком (–1)^>i+k, A = (–1)^>i+>kM_>ik.

Определителемn–порядка, соответствующим квадратной матрице n–го порядка, называется число, равное сумме парных произведений элементов какой–либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Теорема. Если А и В – квадратные матрицы одного порядка с определителями |A| и |B|, то определитель матрицы С = АВ равен: |C | = |A| |B|.

Обратной матрицей для квадратной матрицы А называется матрица А^>–1, которая удовлетворяет условиям АА^>–1= А^>–1А = Е. Матрица А называется вырожденной, если ее определитель |A| равен нулю.

Теорема. Матрица

где A_>ik – алгебраическое дополнение элемента a_>ik невырожденной матрицы А, является обратной для А.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

Если каждому значению n из натурального ряда чисел – 1, 2, n – ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число а, то множество занумерованных вещественных чисел – а_>1, а_>2, а_>n – называется числовой последовательностью (последовательностью), числа а_>n называются элементами или членами последовательности.

Числовая последовательность:

{a_>n},a_>n= f(n),

где n = 1, 2, 3… – номер члена последовательности.

Cпособы задания последовательностей:

1) аналитический (с помощью формулы n–члена);

2) рекуррентный (путем задания первого члена или нескольких членов и формулы для определения любого члена по известным членам);

3) словесный.

Суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей {x_>n} и {y_>n} называются соответственно следующие последовательности: {x_>n + y_>n}, {x_>n – y_>n}, {x_>n × y_>n}, {x_>n / y_>n}, в случае частного y_>n ≠ 0. Если в нуль обращается лишь конечное число членов последовательности знаменателя, то частное определяется с номера, отличного от нуля члена последовательности.

Последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого n выполняется условие: a_>n+1 > a_>n (a_>n+1 < a_>n). Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Последовательность называется невозрастающей (неубывающей), если для любого n выполняется условие: a_>n+1 ≤ a_>n (a_>n+1 ≥ a_>n).

Невозрастающие и неубывающие последовательности называются монотонными.

Последовательность {a_>n} называется сходящейся, если существует такое число А, что для любого положительного числа ε > 0 найдется такой номер N, что при всех n > N |a_>n – A| < ε. Если последовательность не сходится, то она называется расходящейся