Процедура вычисления доходности к любой из дат отзыва проходит так же, как подсчет любой другой доходности, а именно: определяется процентная ставка, при которой приведенная стоимость предполагаемых денежных потоков будет равна цене облигации. В случае доходности к первому отзыву предполагаемые денежные потоки представляют собой купонные выплаты, произведенные до первой даты отзыва, а также установленную в регламенте цену отзыва. При вычислении доходности к первому отзыву по номиналу денежными потоками считаются купонные выплаты, совершенные до первой даты, в которую эмитент может выкупить облигацию по номиналу, а также последний денежный поток в размере номинальной стоимости.

Формула вычисления доходности к колл-опциону выглядит следующим образом:

где:

M* – цена отзыва (в долларах);

n* – число периодов до предполагаемой даты отзыва (число лет × 2).

Для облигации с купоном, выплачиваемым раз в полгода, удвоение процентной ставки для периода (у) дает доходность к колл-опциону, эквивалентную облигационной.

Рассмотрим 18-летнюю облигацию с купоном, равным 11 %, номинальной стоимостью $1000 и ценой $1169. Предположим, что первый отзыв может быть произведен через 8 лет с настоящего момента, причем цена отзыва – $1055. Денежные потоки от такой облигации, отозванной через 13 лет, представляют собой: 1) 26 купонных выплат по $55 и 2) $1055 через 16 шестимесячных периодов с настоящего времени.

При подстановке искомого значения у в формулу (3.6) должно выполняться равенство правой и левой частей, т. е. приведенная стоимость денежных потоков до первой даты отзыва должна быть равна цене облигации ($1169). Процедура определения значения доходности к первому отзыву аналогична вычислению доходности к погашению. Приведенные стоимости при разных процентных ставках для периодов даются в таблице:

Процентная ставка для периода, составляющая 4,2675 %, соответствует приведенной стоимости денежных потоков, равной цене облигации, а это значит, что у, или доходность к первому отзыву, – это 4,2675 %. Таким образом, доходность к первому отзыву, эквивалентная облигационной, равна 8,535 %.

Предположим, что первая дата отзыва по номиналу для этой облигации – это момент, наступающий через 13 лет с настоящего времени. Тогда доходность к первому отзыву по номиналу – это процентная ставка, при которой приведенная стоимость $55, выплачиваемых каждые полгода в течение следующих 26 периодов, плюс номинальная стоимость $1000, которая будет получена через 26 полугодовых периодов, окажется равной цене, а именно $1169. Предлагаем читателю самостоятельно провести продемонстрированную нами на примерах процедуру подбора и надеемся, что полученный результат совпадет с нашим: полугодовая процентная ставка, при которой приведенная стоимость денежных потоков равна цене, составляет 4,3965 %, а доходность к первому отзыву по номиналу равна, соответственно, 8,793 %.

В главе 1 мы обсуждали облигации со встроенным пут-опционом, суть которого состоит в следующем: держатель облигации имеет право заставить эмитента приобрести выпуск по установленной цене. Для облигации со встроенным пут-опционом, так же как и для облигации с колл-опционом, может существовать регламент продаж. В регламенте обозначается дата вынужденной покупки облигации эмитентом и цена покупки – так называемая пут-цена (put price).

Для облигаций со встроенным пут-опционом рассчитывается доходность к пут-опциону. Доходность к пут-опциону – это процентная ставка, при которой приведенная стоимость денежных потоков, поступающих до предполагаемой даты вынужденной покупки выпуска эмитентом, а также пут-цена на эту дату, обозначенная в регламенте, в сумме равны цене облигации. Формула вычисления этой величины аналогична формуле (3.6): за