Из суждения «Чикаго расположен к западу от Нью-Йорка» можно обоснованно вывести суждение «Нью-Йорк расположен к востоку от Чикаго», из суждения «Сократ был учителем Платона» – суждение «Платон был учеником Сократа», из «семь больше пяти» – «пять меньше семи». Каждая из приведенных пар суждений представляет два эквивалентных суждения. Такие умозаключения имеют следующую форму: если а находится к Ь в определенном отношении, Ь находится к а в обратном отношении.

На данном этапе нам предстоит изучить, что такое эквивалентные формы сложных суждений.

Рассмотрим условное суждение «если треугольник – равнобедренный, то углы у его основания равны». Утверждать это суждение, как мы уже знаем, означает утверждать, что истинность антецедента предполагает истинность консеквента, или что не может быть такого, чтобы антецедент был истинным, а консеквент – ложным. Следовательно, в данном условном суждении утверждается, что конъюнктивное суждение «треугольник является равнобедренным, и углы при его основании неравны» ложно. Или же, что строго дизъюнктивное суждение «неверно, что треугольник является равнобедренным и вместе с этим углы у его основания неравны» является истинным. Таким образом, из условного суждения мы можем вывести дизъюнкцию.

Более того, из строгой дизъюнкции мы также можем вывести условное суждение. Если дано суждение «неверно, что треугольник является равносторонним и вместе с этим углы у его основания неравны», то истинность одного дизъюнкта несовместима с истинностью другого: если один дизъюнкт истинен, другой должен быть ложным. Следовательно, из этого строго дизъюнктивного суждения мы можем вывести суждение «если треугольник является равнобедренным, то углы у его основания равны». Таким образом, может быть найдена строгая дизъюнкция, эквивалентная условному суждению.

Сказанное выше можно записать, используя введенные нами символы:

[(Треугольник является равнобедренным) ⊃ (углы у его основания равны)] ≡ [(Треугольник является равнобедренным) .(углы у его основания равны)′′

Из данного рассуждения также становится видно, как мы можем вывести эквивалентное условное суждение из любого другого условного суждения. Если в эквивалентной строгой дизъюнкции предполагается, что второй дизъюнкт является истинным, то первый дизъюнкт должен быть ложным. Следовательно, мы можем вывести суждение «если углы у основания треугольника неравны, то треугольник не является равнобедренным». Мы можем записать:

[(Треугольник является равнобедренным) ⊃ (углы у его основания равны)] ≡ [(Углы у основания треугольника равны)′⊃(треугольник является равнобедренным)′.

Данные эквивалентные условные суждения считаются противопоставленными (контрапозитивными) друг другу.

Рассмотрим (нестрогую) дизъюнкцию «треугольник является равнобедренным или углы у его основания равны». Утверждать данное суждение значит утверждать, что, по крайней мере, один из дизъюнктов является истинным. Поэтому, если бы один из дизъюнктов был ложным, другой должен был бы быть истинным. Следовательно, мы можем заключить из данной дизъюнкции условное суждение «если треугольник является равнобедренным, то углы у его основания равны». Более того, данная дизъюнкция может быть выведена из данного условного суждения. Это условное суждение эквивалентно суждению «неверно, что треугольник является равнобедренным и вместе с этим углы у его основания неравны», в котором утверждается, что, по крайней мере, один из дизъюнктов должен быть ложным. Из данной дизъюнкции мы можем вывести суждение «треугольник не является равнобедренным или углы у его основания равны». Мы можем записать данную эквивалентность: