Математически можно показать, что в нашем случае (т.е. в случае системы, состоящей всего из двух акторов) доля победителя составляет 0,5+G_>0. Например, если максимально возможный Джини равен G_>0=0,2, то победитель получает не более 70% распределяемого ресурса.

Два крайних случая ограничения на неравенство – это, с одной стороны, абсолютно эгалитарное правило, при котором ресурс всегда делится поровну (G_>0=0), и, с другой стороны, – отсутствие ограничений на неравенство. Для системы из двух акторов отсутствию ограничений соответствует G_>0=0,5. Заметим, что в подавляющем большинстве стран мира фактические значения коэффициента Джини по уровню доходов ниже, чем 0,5. Исключение составляют не более полутора-двух десятков стран Латинской Америки и Африки (причем у большинства из этих стран коэффициент Джини лишь незначительно превышает 0,5).

Вопрос оценки качества институтов в данном разрезе заключается в том, как наличие ограничения на неравенство влияет на эффективность системы. В самом грубом приближении, это ограничение можно считать стабилизирующим: оно исключает наиболее успешные и наиболее катастрофические сценарии. Действительно, если система состоит из высокопродуктивного и низкопродуктивного акторов, то ограничение, например, G_>0=0,25 приводит к тому, что высокопродуктивный получит не менее четверти ресурса, что исключает самые худшие сценарии. С другой стороны, и самый быстрый рост также становится невозможным, так как «точка роста» получает не более трех четвертей общественного ресурса.

Итак, общественный ресурс делится между акторами пропорционально введенным формулой (1) весам:

но в пределах ограничения:

Тем самым, определены объемы ресурсов R_>1(1), R_>2(1) на временном шаге t=1.

Для произвольного момента времени имеем:

Итак, математическая модель построена. Перейдем к ее анализу в случаях отсутствия и наличия ограничений, а также сравнению этих ситуаций в плане робастности

Рассмотрим сначала случай, когда ограничения на неравенство отсутствуют. Математический анализ (который мы опускаем) показывает, что тогда доля ресурса, получаемая более политически активным актором, возрастает, приближаясь при t→∞ к 100%. Рассмотрим, будет ли при этом система эффективной.

Если система состоит из низкопродуктивного актора x_>1 и высокопродуктивного актора x_>2, т.е. 0<x_>1<1<x_>2, то получаем, что необходимое (но недостаточное) условие эффективности системы имеет вид π_>1<π_>2. Другими словами, такая система может быть эффективной лишь в том случае, когда высокопродуктивный актор инвестирует в политику больше, чем низкоэффективный. Это условие является необходимым, но не достаточным.

Пусть оно выполнено. Тогда при достаточно больших значениях t имеем из формулы (3): R(t+1)=(1-π_>2)R(t)x_>2, т.е. для эффективности должно быть выполнено неравенство π_>2<1-1/x_>2. Итак, необходимое и достаточное условие эффективности системы имеет вид:

Таким образом, при отсутствии ограничений на неравенство система эффективна, если выполнены два условия:

– высокопродуктивный актор вкладывает в борьбу за перераспределение больше ресурса, чем низкоэффективный;

– высокопродуктивный актор вкладывает в борьбу за перераспределение ресурса не настолько много, чтобы истощить производственный ресурс.

Чтобы ввести числовую меру робастности, рассмотрим введенное выше пространство политик (π_>1