Однако «нелепость» и «дерзость» «математики случайного» в значительной мере устранялись тем, что в теории вероятностей, зарождавшейся из азартных игр, случай лишался своего абсолютного значения и подлинности (внезапности, неожиданности, таинственности) и превращался в реальную возможность, функционально зависимую от ожидания исполнения заранее принятых условий. Деньги, поставленные игроками на кон, писал сам Паскаль, уже не принадлежат им; но, теряя денежную собственность, игроки «приобретают право ожидания того, что случай может им дать согласно заранее оговоренным условиям».

Предварительные «правила игры» поддаются абстрактному комбинаторному исчислению и позволяют решать частные вероятностные задачи более общими методами. Так, у Паскаля имеется общее решение о разделении ставки между двумя игроками на основе изучения арифметического треугольника, названного впоследствии его именем.

«Трактат об арифметическом треугольнике» создан в период переписки с Ферма (издан в 1665 году) и тесно связан с обобщением возникших в ней комбинаторных проблем.

В своем трактате он излагает свойства и соотношения членов разностных рядов и биноминальных коэффициентов, описывает двадцать основных следствий, вытекающих из непосредственного рассмотрения арифметического треугольника, а в небольших приложениях к трактату разбирает возможности использования этого треугольника для изучения числовых порядков и сочетаний, для определения раздела ставок между игроками и степеней биномов.

Антиалгебраизм Паскаля, неприязнь к отвлеченным формулам, сказавшиеся уже в его первых математических работах, обнаруживаются и в «Трактате…», где свойства чисел хотя и выводятся в общем виде, но описательно, с конкретными доказательными примерами, без алгебраических символов. Так, например, при определении коэффициентов степеней бинома Блез не искал априорных формул для их исчисления, а записывал их друг за дружкой, переходя от низших степеней к высшим, что не позволило ему, по словам одного французского исследователя научного творчества Паскаля, сделать открытие Ньютона: «Паскалю не хватило одного росчерка пера для написания формулы, дающей коэффициент n-го порядка, получаемого при возведении бинома в степень т: он не сделал его, позволив Ньютону прославить свое имя этим вычислением».

В числе приложений к «Трактату об арифметическом треугольнике» имеется небольшая работа под названием «О суммировании числовых степеней», написанная также в 1654 году и очень важная для дальнейшего течения мысли Блеза не только в математическом отношении. В ней Паскаль дает метод подсчета степеней чисел натурального ряда, а затем заключает: «Те, кто хотя бы в малой степени разбирается в учении о неделимых, не преминут усмотреть, что можно извлечь из предыдущих результатов для определения криволинейных площадей. Эти результаты позволяют немедленно квадрировать параболы всех видов и бесконечно много других кривых.

Если мы распространим на непрерывные величины те результаты, которые найдены для чисел по методу, изложенному выше, мы сможем высказать следующие правила.

Правила, относящиеся к прогрессии натуральных чисел, начинающейся с единицы

Сумма некоторого числа линий относится к квадрату наибольшей линии, как 1 к 2.

Сумма квадратов тех же линий относится к кубу наибольшей, как 1 к 3.

Сумма их кубов относится к четвертой степени наибольшей, как 1 к 4.

ОБЩЕЕ ПРАВИЛО, ОТНОСЯЩЕЕСЯ К ПРОГРЕССИИ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, НАЧИНАЮЩЕЙСЯ С ЕДИНИЦЫ

Сумма одинаковых степеней некоторого числа линий относится к непосредственно следующей степени наибольшей из них, как единица к показателю этой степени.