В одной из последующих глав я покажу, что в квантовой физике периодическое поведение комплексных чисел (волновое уравнение) используется для описания невидимого состояния материальной системы. Состояние физической системы, например маленького шарика, элементарной частицы или человека, в каждой точке пространства и времени может быть представлено комплексным числом.

4. Если мы проводим линию R из центра к точке a + ib, то она выглядит как путь между этим комплексным числом и центром комплексной плоскости. См. рис. 8.7.

Рис. 8.7. Линия R на комплексной плоскости Какова длина R? R представляет собой длинную сторону треугольника с двумя другими сторонами а и b. R – это длинная сторона (гипотенуза), b – вертикальная сторона (катет) и a – горизонтальная сторона (катет).

Рис. 8.8. R – это часть прямоугольного треугольника

Греческий ученый Евклид заимствовал информацию у вавилонян и открыл, как можно было бы измерить R, зная а и b. Оказывается, что если есть две стороны треугольника, которые перпендикулярны друг другу, формула Евклида говорит, что квадрат длинной стороны, R, равен сумме квадратов меньших сторон. То есть

R^>2 = а^>2 + b^>2

это формула Евклида для прямоугольных треугольников[13].

Таким образом, умножение комплексного числа на его конъюгат дает нам R – расстояние точки от центра.

5. Помножим а + ib на а – ib. Получается

а^>2 – iab + iab – i2b^>2.

Если помнить, что i^>2 = -1 и заметить, что -mb и +rnb взаимно вычитаются, то остается

(а + ib) х (а – ib) = а^>2 + b^>2.

Математики называют выражение (а + ib^ifl – ib) абсолютным квадратом числа (а + ib). Например, если а = 3 и b = 4, то абсолютный квадрат комплексного числа 3 + 4i будет равен (3 + 4i)x(3 – 4i) = 32 + 42 или 9 + 16 или 25. Это действительное число без всякой примеси мнимых чисел.

6. С математической точки зрения, процесс конъюгации похож на возведение в квадрат, но чуть-чуть отличается от него. Возведение комплексных чисел в квадрат дает другие такие числа, в то время как конъюгация и получение абсолютного значения дает действительные числа!

Вот как это получается. Если возводим комплексное число типа а + ib в квадрат, то умножаем его само на себя и получаем комплексное число, то есть сочетание действительного и мнимого чисел, поскольку:

(а + ib) х (а + ib) = а2 + аА + аА – b2 = а^>2 + 2аА – b^>2.

Но для того чтобы получить абсолютное значение комплексного числа а + ib, мы конъюгируем его, или умножаем его на его конъюгат:

(а + ib) х (а – ib) = а^>2 – mb + mb + -i^>2b^>2,

но поскольку i^>2 = -1, мы получаем

(a + ib) х (a – ib) = a2 + b2,

как в примечании 5. Таким образом, получение абсолютного значения числа похоже на возведение числа в квадрат, за исключением того, что абсолютное значение не содержит никаких мнимых чисел. В отличие от конъюгации, возведение комплексного числа в квадрат дает

a2 + 2aib —Ь2,

в то время как абсолютное значение, получающееся в результате конъюгации, это a2 + b2 – действительное число, поскольку в нем нет никаких i.

Давайте передохнем и оглянемся на путь, который мы прошли в нашем путешествии до сих пор. После обзора знакомой территории мы двинемся дальше в рассмотрении комплексных чисел с помощью сна-фантазии нобелевского лауреата по физике Вольфганга Паули.