Например, небезызвестная ставка во второй степени на LIBOR (лондонская межбанковская ставка)[15] является наглядным примером такой выпуклости. Ставка в третьей степени LIBOR будет иметь третью производную (выпуклость кривизны), но данный продукт не получил распространения. Однако, несмотря на схожие с опционами выплаты, эти инструменты не являются опционом, поскольку обе стороны обязаны обмениваться выплатами. Странность данного инструмента заключается в том, что выплаты выпуклые выше определенной точки и вогнутые ниже, или наоборот. Ускорение положительной отдачи, с одной стороны, уравновешивается ускорением отрицательной отдачи – с другой.
Пример. Elevator Bank продает своим клиентам в районе Цинциннати, штат Огайо, финансовую ноту, по которой ее владельцу выплачивается квадрат движения процентной ставки (между началом действия ноты и заданным моментом времени в будущем). Таким образом, клиент, обеспокоенный низкими процентными ставками, получает ускоренную компенсацию против дальнейшего снижения ставки. Нота выглядит как опцион и, являясь (как кажется) трудно хеджируемой, будет продаваться дороже своей «справедливой» стоимости.
Мастер опционов: принцип загрязнения и LIBOR-квадрат
LIBOR-квадрат – это контракт со смешанным профилем выплат (выпуклым в одном интервале и вогнутым в другом). В начальной точке (в момент заключения) он не имеет ни выпуклости, ни вогнутости. Согласно принципу загрязнения, цена контракта должна быть выше, чем его теоретическая стоимость в зонах с длинной гаммой и ниже в зонах с короткой гаммой[16].
По контракту выплачивается:
q(x – x>0)>2, если x > x>0;
– q(x – x>0)>2, если x < x>0,
где q – количество, x>0 – начальная точка, x – текущее значение ставки LIBOR.
Таким образом, его дельта:
2q(x – x>0), если x > x>0;
– 2q(x – x>0), если x < x>0.
А значение гаммы:
2q, если x > x>0;
– 2q, если x < x>0.
На рисунке ниже показан процесс оценки.
Далее при обсуждении торговли опционами мы проясним суть данного явления – покупка и продажа базового актива определяют стоимость любого дериватива в зависимости от его дельта-нейтральной репликации.
Опционы и другие вероятностные контракты
Цена опционов зависит от непредвиденных событий. Им посвящена значительная часть настоящего исследования. Они являются темой этой книги. Своп – это линейный дериватив, а своп, зависящий от пути (path-dependent swap), имеет неопределенный (точно не известный) профиль выплат. В прошлом биржевики определяли эти контракты как инструменты с опциональностью, когда одна сторона имела право выбора, а для другой условия контракта были обязательством.
Мы будем изучать опционы на двух уровнях. Уровень 1 – это традиционное представление продукта, как будто рынков экзотических опционов не существует. На уровне 2 мы перейдем к более общему рассмотрению опционных рынков, включая как ванильные, так и экзотические инструменты (глава 2).
Опционы представляют собой условные требования и, таким образом, отличаются от других продуктов тем, что являются потенциальным активом для одной стороны и потенциальным обязательством для другой. Эта условность стоимости делает их объектом теории вероятности. Таким образом, ценообразование опционов является вероятностным.
■ Опцион пут – это право продать инструмент по определенной цене (цена страйк) в течение определенного времени. Опцион колл – это право купить инструмент.
С появлением множества новых инструментов разделение опционов на пут и колл утратило четкость. Во многих случаях оно зависит от расчетов или единицы измерения. Для валютной пары опцион пут на немецкую марку/доллар (право продать марки и купить доллары) аналогичен опциону колл на доллар/марку. Аналогично пут на доходность облигаций – это колл на цену облигации, что вызывает замешательство, поскольку одна из известных бирж определила спецификацию опциона как контракт на доходность облигации (таким образом, создав новый актив), в то время как большинство денежных инструментов торгуются в соответствии с их ценой.