Задача планирования, хотя и требует всех четырех арифметических действий, принципиально несложна. И вроде бы должна легко создать такой избыток.

«То есть как это не бывает?» – возмутитесь Вы. – «Возьми по горсти того и другого, наверни по гайке на каждый болт – и порядок». Ну что же, установление взаимно однозначного соответствия – метод надежный. Но когда закончите наворачивать, что-нибудь останется в избытке.

«Так почему бы не докупить недостающее?» Вопрос резонный. Для тех, кому никогда не приходилось бегать по магазинам в поисках срочно понадобившейся кисточки, клапана для смывного бачка, катушки белых ниток…

«Но почему же не производится столько, сколько нужно?» А давайте подсчитаем, сколько именно нужно.

Допустим, нужно стране сегодня болтов и гаек по 1 000 000 штук. Ну что же. Из метра шестигранного прутка болтов выходит 5, гаек – 40. Пруток катают на стане «Полонез» – по 2500 метров в сутки. Гайки сверлят на станке «Менуэт» – по 400 в смену, а нарезают на станке «Вальс» – по 200 в смену. Болты обтачивают на станке «Танго» – по 1000 в сутки, нарезают на станке «Румба» – по 700 в сутки.

Подсчитали, сколько всего оборудования Вам надо? А теперь учтите: в «Полонез» входит 150 болтов с гайками, в «Менуэт» – 88, в «Вальс» – целых 391. В «Танго» болтов 76, а гаек всего 42 – 34 болта вворачиваются в резьбовые гнезда корпуса. А в «Румбе» болтов 28, а гаек целых 103 – 75 наворачиваются на шпильки. Расчетный срок службы «Полонеза» – 10 лет, «Менуэта» – 7, «Вальса» – 3, «Танго» – 5, «Румбы» – 4. И все гайки с болтами, необходимые для их производства, тоже необходимо сделать.

Изменили план? Учли, сколько дополнительных станков нужно и сколько на них уйдет дополнительного крепежа? Успели утереть с лица пот? Это хорошо, если успели. Потому что вбежал к Вам в кабинет главный технолог по изобретениям и радостно сообщил: болты теперь можно не точить и нарезать, а штамповать на прессе «Ламбада» – целых 10 000 в смену. И болтов в этой «Ламбаде» всего 15 – но 2 из них диаметром 50 мм, а еще один – целых 100. И гаек лишь 13 – но одна 200-миллиметровая. Так что план надо пересчитать – и срочно, иначе еще год будем переводить металл в стружку.

На самом деле все не так уж страшно. Все перечисленные цифры образуют давно известную математикам систему уравнений. Причем простейших – линейных. Которые нас учат решать еще в школе.

В школьном учебнике системы линейных уравнений решают методом Крамера. Метод очень хорош для теории – используемые в нем определители находят в математике множество применений. Но один недостаток у метода есть. Число действий, необходимых для расчета определителя, пропорционально факториалу количества уравнений.

Факториал числа – это произведение всех чисел от единицы до этого числа. И растет факториал немыслимо быстро. Факториал четырех – 24, восьми – 40 320, а двенадцати – уже 479 001 600! Решать методом Крамера можно лишь учебные примеры. А для реальных систем с десятками и сотнями уравнений он неприменим.

Такие системы часто встречаются в астрономии. Видный астроном, «король математиков» Карл-Фридрих Гаусс разработал в конце XVIII века новый метод решения систем линейных уравнений. Изумительно простой метод – число действий в нем пропорционально всего лишь третьей степени числа уравнений.

«Пропорционально» – не значит «равно». Но в методе Гаусса коэффициент пропорциональности достаточно мал. Для простоты примем его равным единице. Тогда для системы в десять уравнений нужна всего тысяча арифметических действий – работа для человека с карандашом и бумагой всего на час–другой. И даже систему в сотню уравнений можно решить за миллион действий – всего несколько недель. А если нанять для расчетов целую бригаду (как поступал Гаусс), то самые сложные астрономические расчеты можно выполнять в считанные дни.