А вот алгебраическое доказательство этого метода (перечитайте это отступление после того, как во второй главе мы поговорим о разнице квадратов):
где A – число, возводимое в квадрат, d – разность с ближайшим круглым числом (формула, кстати, справедлива для любого d). Для примера возведем в квадрат 59: А = 59, d = 1, значит, формула превращается в (59 + 1) × (59 – 1) + 1², как и в предыдущем вычислении.
Теперь, когда вы профессионально возводите в квадрат двузначные числа, можно попробовать и трехзначные. Если помните, 12² = 144, значит:
Есть еще одна подобная формула, которая работает для любых двух чисел, близких к сотне. Человек, который становится случайным свидетелем таких вычислений, испытывает чувство, будто наблюдает за трюком фокусника. Вот, например, 104 × 109. Рядом с каждым из них пишем число, на которое оно превышает сотню (см. пример ниже). В левом столбце сложим первое число со второй разностью и запишем результат: 104 + 9 = 113. В правом столбце перемножим две разности: 4 × 9 = 36. «Соединим» эти числа, то есть запишем их одно за другим и – тадам! – волшебным образом получим ответ: 11 336.
Другие примеры и алгебраическую формулу такого вычисления я приведу чуть позже, в главе 2. И, раз уж мы об этом заговорили, кое-что еще о вычислениях в уме. Мы тратим уйму времени на то, чтобы научиться считать столбиком, хотя научиться делать это в уме куда быстрее. Задумайтесь: как часто в обычной жизни у нас есть время и возможность достать бумагу и провести все необходимые подсчеты? Для сложных вычислений можно воспользоваться калькулятором, но не будете же вы доставать его в магазине, читая данные об энергетической ценности на упаковке продуктов, или сидя в зале собрания, или дома, включив выпуск экономических новостей. Вот здесь-то, в оценке по-настоящему важных для вас цифр, и становятся очевидными все плюсы устного счета. Увы, в школе нас хорошо учат считать на бумаге, со счетом в уме дела обстоят плохо.
Строго говоря, эта тема достойна отдельной книги, но, раз уж мы говорим о магии, а не о способностях человеческого мозга, коснемся ее вскользь, обозначив лишь самые основные положения. Главный прием, о котором я не устаю говорить: считайте слева направо. Подсчеты в уме – это процесс постоянного упрощения. Вы начинаете с проблемы огромной, неподъемной, кажущейся непомерно сложной, и расщепляете ее на несколько элементарных и очевидных вопросов, пока не получите искомый результат.
Сложение в уме
Допустим, нам нужно подсчитать что-нибудь, вроде
(Я специально записываю это уравнение в одну строку, чтобы увести вас от искушения подсчитать столбиком.) Начнем с 314, прибавив сотню, чтобы упростить подсчеты:
Прибавить 50 к 414 еще проще. А затем:
Вот и вся суть сложения в уме. Есть еще один путь, не менее эффективный: превратить проблему сложения в более простую проблему вычитания. Способ этот хорош для подсчета цен в магазине. Возьмем, к примеру, сложим
$8,95 меньше $9 лишь на 5 центов, поэтому легче сначала прибавить к $23,58 именно $9, а потом вычесть $0,05. И смотрите, как все сразу упрощается:
Вычитание в уме
Главный прием при вычитании в уме – вычитать больше, чем нужно. Если вам нужно вычесть 9, гораздо легче вычесть 10, а потом прибавить лишнюю единицу. Например,
Соответственно, если вам нужно вычесть 39, вычтите 40 и прибавьте 1.