где
S – возвращаемая сумма;
S>0 – сумма, взятая в долг;
i – процентная ставка за период времени T, которая здесь выражена не в процентах, а в долях единицы, то есть 18 % в нашей формуле запишутся как 0,18;
t – время пользования кредитом, выраженное в периодах T.
Однако не все кредиты можно описать с помощью данной формулы. Представим, что заемщик вовремя не смог рассчитаться с кредитором, не возвратив по истечении времени Т взятую в долг сумму. Представим также, что кредитора такой вариант развития событий не очень волнует и он не беспокоится о сохранности своих денег, абсолютно доверяя заемщику.
В этой ситуации кредитор и заемщик могут договориться о пролонгации кредита на тех же условиях (под те же проценты и на такой же срок), что и раньше, за исключением следующего факта. Поскольку на момент возврата кредита заемщик был должен уже не S>0, а S, то новой суммой, взятой в долг, будет уже S. Новая возвращаемая сумма S>new будет вычисляться как
Если и по окончании второго срока займа он не возвращается, то к концу третьего периода итоговая возвращаемая сумма уже будет вычисляться как
Если же заем возвращен спустя только m-1 таких «пролонгаций» (или m периодов Т), то итоговая сумма «к получению» кредитором вычисляется по формуле:
Эту формулу и называют формулой сложных процентов. «Сложность» их состоит в том, что за текущий период времени проценты начисляются как на саму исходную сумму займа, так и на начисленные на нее ранее проценты.
Папашу Ротшильда, основателя всемирно известной финансовой империи, как-то попросили назвать семь чудес света. Он ответил: «Я затрудняюсь, но уверен, что восьмым чудом света являются сложные проценты».
Формула эта прокомментирована в сотнях учебников, рост суммы долга проиллюстрирован тысячами примеров. По мнению многих авторов, наиболее показательным, является следующий: если бы те 17 (или 27?) долларов, за которые в свое время остров Манхэттен был куплен у индейцев белыми колонистами, положить в тот момент под 3 % годовых с ежегодным причислением суммы процентов к сумме долга, то сумма выплаты на сегодняшний момент превышала бы стоимость Нью-Йорка и Лос-Анджелеса вместе взятых, со всеми их домами, мостами, автомобилями, кораблями и товарами.
Иначе говоря, белые колонисты сильно переплатили за тот кусок земли, на котором сейчас расположена центральная часть Нью-Йорка. Вот бы моему преподавателю по истории КПСС в институте сейчас подкинуть этот расчетец! А то ведь в свое время пример с Манхэттеном нам преподносился не иначе как факт, иллюстрирующий угнетение белыми колонистами коренных жителей Северной Америки. А получается, что те белые парни сильно переплатили тем красным парням за простой кусок земли. Вот вам и угнетение!
Нам кажется, что не менее интересный результат по формуле сложных процентов может быть получен и в течение жизни одного человека.
Предположим, человек начал откладывать по одному доллару в день (в долларах все-таки еще привычней откладывать, чем в рублях). По окончании года все 365 отложенных долларов он дал кому-нибудь в виде кредита сроком на один год под 24 % годовых (уверяю, под 2 % в месяц в России сегодня деньги разместить можно, а как это делается, мы будем обсуждать в дальнейшем). Но на этом наш уважаемый инвестор не остановился и продолжал откладывать по одному доллару в день. По истечении двух лет сумма, которую он таким образом накопил, составит 818 долларов (365 за второй год, 365 за первый и 88 долларов процентов, начисленных на сумму первого года). По истечении трех – 1379 долларов и так далее. Что произойдет, если человек будет продолжать действовать таким образом в течение 30 лет? Как будет прирастать отложенная сумма? Таблица 1 дает ответы на поставленные вопросы.