Рис. 11.

Следующий шаг – это введение изменения скорости частицы, движущейся вдоль кривой. Оно также может быть выполнено различными путями, из которых мы выберем самый простой и удобный. Последний рисунок показывал несколько векторов скоростей, представляющих движение вдоль кривой в разных точках. Первые два из них можно опять нарисовать так, чтобы они имели общую исходную точку (рис. 11), что, как мы видели, возможно проделывать с векторами. Пунктирный вектор мы называем изменением скорости. Его начальная точка представляет собой конец первого вектора, а конечная точка – конец второго вектора. Этим и определено изменение скорости. Такое определение может на первый взгляд показаться искусственным и бессмысленным. Оно становится гораздо яснее в особом случае, в котором векторы 1 и 2 имеют одинаковое направление (рис. 12). Конечно, это означает переход к случаю прямолинейного движения. Если оба вектора имеют одну и ту же начальную точку, то пунктирный вектор опять связывает их конечные точки. Рисунок 12 совпадает с рисунком 6 на стр. 23, а прежнее понятие оказывается частным случаем нового понятия. Следует заметить, что мы должны были разделить обе линии на рисунке, ибо иначе они совпали бы и стали неразличимы.

Рис. 12.

Теперь мы должны сделать последний шаг в процессе обобщения. Это будет самой важной из всех догадок, которые мы сделали до сих пор. Связь между силой и изменением скорости должна быть установлена так, чтобы мы могли найти руководящую идею, позволяющую нам понять общие проблемы движения.

Руководящая идея для объяснения движения вдоль прямой была весьма простой: внешняя сила вызывает изменение скорости; вектор силы имеет то же направление, что и изменение скорости. Но что теперь следует рассматривать в качестве руководящей идеи для криволинейного движения? Совершенно то же самое! Единственное различие в том, что изменение скорости имеет теперь более общее значение, чем раньше. Мимолетный взгляд на пунктирные векторы на двух последних рисунках показывает это очень ясно. Если скорость известна для всех точек кривой, то направление силы в любой точке может быть найдено сразу же. Нужно нарисовать векторы скорости для двух моментов, отделенных очень короткими интервалами времени, а стало быть, соответствующих положениям, очень близким друг к другу. Вектор, проведенный из конца первого вектора к концу второго, показывает направление действующей силы. Но существенно, что оба вектора скорости должны быть отделены лишь «очень коротким» интервалом времени. Строгий анализ таких слов, как «очень близкий», «очень короткий», далеко не прост. Именно этот анализ привел Ньютона и Лейбница к открытию дифференциального исчисления.

Путь, который привел к обобщению руководящей идеи Галилея, длинен и извилист. Мы не можем показать здесь, какими изобильными и плодотворными оказались последствия этого обобщения. Его применение приводит к простому и удобному объяснению многих фактов, до того времени несогласованных и непонятных.

Из всего разнообразия движений мы возьмем лишь самое простое и применим к его объяснению только что сформулированные законы.

Рис. 13.

Пуля, выпущенная из ружья, камень, брошенный под углом к горизонту, струя воды, выходящая из трубы, – все они описывают хорошо известную траекторию одного и того же типа – параболу. Вообразим себе, например, что к камню присоединен спидометр, так что вектор скорости камня может быть определен для любого момента.

Рис. 14.

Результат представлен на рисунке 13. Направление действующей на камень силы совершенно такое же, как и направление изменения скорости; мы уже видели, как его можно определить. Следующий рисунок показывает, что сила вертикальна и направлена вниз. Совершенно то же самое мы видим, рассматривая движение камня, брошенного с вершины башни. Пути, а также и скорости совершенно различны, но изменения скоростей имеют одинаковое направление – к центру Земли.