Тем временем в нью-йоркской головной конторе ее начальники в костюмах анализируют ход своей мировой войны с сухостью кожи, применяя методы, изобретенные человеком, о котором, без сомнения, ни один из этих начальников сроду ни разу не задумался. Вообразим графики, отражающие ежегодный рост прибылей «Эйвона» по сегментам рынка: международные показатели – синим, местные – красным. Ежегодный отчет иллюстрирует общий оборот компании, объемы сбыта, прибыли отдельных торговых точек; в нем целые страницы прочих показателей во всех мыслимых видах графиков и диаграмм – и тебе столбчатых, и круговых.

Если бы средневековый торговец показал кому-нибудь результаты своей работы в таком виде, на него бы вытаращили глаза. Что означают эти разноцветные геометрические фигуры, соседствующие в том же документе с римскими цифрами? Макароны и сыр уже успели изобрести (сохранился английский рецепт XIV века[102]), а вот идею поженить числа и геометрические фигуры – нет. Ныне графическое представление знания настолько общепринято, что мы едва ли думаем о нем как о математическом приеме: даже самый матемафобный директор «Эйвона» понимает, что линия на графике прибылей, тянущаяся вверх, есть многая радость. Но куда бы ни тянулись графики – вниз или вверх, – изобретение их стало жизненно важным шагом на пути к теории местоположения.

Союз чисел и геометрии греки понимали, увы, неверно – аккурат в этом месте философия оказалась помехой. В наши дни любой школьник изучает, грубо говоря, числовой ряд – линию, обеспечивающую упорядоченную связь между точками на ней и положительными и отрицательными целыми числами, равно как и между всеми дробями и прочими числами на этой линии. Эти «другие числа» – иррациональные, т. е. не целые и не дроби, как раз их отказался признавать Пифагор, но они тем не менее существуют. Числовой ряд обязан включать в себя и их – без иррациональных чисел в нем возникнет бесконечное множество дыр.

Мы уже говорили, как Пифагор открыл квадрат с длиной стороны в единицу, у которого диагональ равна квадратному корню из двух, а это иррациональное число. Если эту самую диагональ отложить в числовом ряду от нуля, другой ее конец обозначит точку, соответствующую иррациональному числу – квадратному корню из двух. Запретив обсуждение иррациональных чисел – они не вписывались в его представления о том, что все числа обязаны быть либо целыми, либо дробными, – Пифагор был вынужден запретить и ассоциацию прямой с числом. Таким способом он замел эту неувязку под ковер – и придушил тем самым одну из самых плодотворных идей в истории человеческой мысли. У всех свои недостатки.

Одним из немногих преимуществ утери греческих трудов стал упадок влияния пифагоровых представлений об иррациональных числах. Теория иррациональных чисел не получила твердого фундамента аж до самого Георга Кантора и работ его современника Рихарда Дедекинда – в XIX веке. И тем не менее, со Средних веков и до Дедекинда и Кантора большинство математиков и ученых закрывали глаза на кажущееся несуществование иррациональных чисел и вполне счастливо, хоть и неумело, все равно их применяли. Очевидно, радость получения правильного ответа перевешивала неприятности работы с числами, которых не существует.

В наше время применение «нелегальной» математики – общее место науки, особенно физики. Теория квантовой механики, например, разработанная в 1920–1930-х годах, очень полагалась на нечто придуманное английским физиком Полем Дираком – дельта-функцию. Согласно математике того времени, дельта-функция попросту равнялась нулю. По Дираку же, дельта-функция равна нулю всюду, кроме одной точки, где ее значение – бесконечность, и, если применить эту функцию вместе с определенными методами счисления, она дает ответы одновременно и конечные, и (обычно) отличные от нуля. Позднее французский математик Лоран Шварц смог доказать, что правила математики можно переформулировать так, чтобы допустить существование дельта-функции, и из этого доказательства родилась целая новая область математики