После этого фильмы с участием Переверзева вновь стали появляться на свет один за другим. Это были «Герои Шипки», «Урок жизни» (оба – 1955), «Иван Франко», «Во власти золота» (оба – 1956), «Как поймали Семагу», «Полесская легенда» (оба – 1957). Однако только роль в фильме «Урок жизни» Ю. Райзмана – инженера Сергея Ромашко – можно смело отнести к успехам актера.

Однажды судьба свела Переверзева с тогдашним советским руководителем Никитой Хрущевым. Причем при обстоятельствах достаточно анекдотичных.

В тот год Советский Союз с дружественным визитом посетил прогрессивный американский певец Поль Робсон. Хрущев тогда отдыхал в Крыму, и именно туда для знакомства с ним и привезли почетного гостя. Было это в двадцатых числах августа 1958 года. В те дни в Крыму отдыхал и Иван Переверзев. Во время торжественного прибытия Робсона актер стоял в толпе встречающих и заметно выделялся своей крупной фигурой. Видимо, поэтому Робсон и обратил на него внимание. Узнав к тому же, что русского богатыря зовут Иван, певец и вовсе расчувствовался и с этого момента ни на шаг не отпускал от себя актера.

В тот же вечер в Ливадийском дворце советский руководитель устроил пышный прием в честь гостя. Тусовка, как теперь говорят, собралась представительная: сплошь партийно-хозяйственная номенклатура и деятели культуры. Поль Робсон важно похаживал среди гостей, а рядом с ним и его новый друг – Иван Переверзев, уже хорошо выпивший.

Хрущев, видя, что высокий американский гость все время крутится возле какого-то актеришки, сделал первую попытку оттеснить Робсона от его нового приятеля, но последний оказался на удивление настырным – как только Хрущев к ним приблизился, он взял американца под руку и отвел в сторону. Через некоторое время Хрущев вновь попытался пойти на сближение, но актер и на этот раз оказался начеку, новый маневр – и советский руководитель опять остался с носом. Видимо, так могло продолжаться весь вечер, если бы количество выпитого алкоголя не сыграло с Переверзевым злую шутку. К тому времени он уже утратил ощущение реальности настолько, что, когда Хрущев в третий раз подошел к ним с твердым намерением отвоевать американского гостя, актер повернулся к руководителю партии и правительства и громко произнес:

– Пошел ты на…!

После этого в зале наступила гробовая тишина, которую первыми прервали охранники. Они подхватили невменяемого актера под руки и буквально вынесли его из дворца. К счастью, плохо владевший русским языком Поль Робсон так и не понял, куда именно послал его друг советского руководителя.

Как это ни странно, этот случай не отразился на личной и творческой судьбе Переверзева. Хрущев был человеком с понятием и прекрасно знал, что может сделать с человеком лишняя рюмка водки. Поэтому никаких репрессий не последовало.

В 1962 году молодой режиссер Виктор Комиссаржевский пригласил актера на главную роль в фильме «Знакомьтесь, Балуев!» по роману В. Кожевникова. В нем Иван Переверзев создал образ руководителя крупной стройки, честного человека и принципиального коммуниста. Вся советская пресса писала об этом фильме в восторженных тонах (начиная от «Правды» и заканчивая «Советской Хакасией»). На Московском международном кинофестивале в 1963 году чиновники от Госкино активно выдвигали фильм на главный приз, но члены жюри фестиваля во главе с Г. Чухраем не испугались задвинуть откровенную поделку и отдали награду фильму Ф. Феллини «8 1/2».

По поводу исполнения Переверзевым роли в фильме «Знакомьтесь, Балуев!» критик Р. Соболев писал: «Выбор Переверзева на роль Балуева понятен, но… может быть, это было главнейшей ошибкой авторов. Актер не виноват в том, что так много кинематографистов представляли партийных и советских работников внешне импозантными, но, по существу, эмоционально и интеллектуально упрощенными людьми… Герои, которых довелось играть Переверзеву, почти всегда бывали приподняты на котурны, их по-настоящему хорошие качества только декларировались, и потому они были попросту неинтересными людьми.