Известно, что Хорезми жил и работал в Багдаде во времена правления халифов аль-Мамуна, аль-Мутасима и аль-Васика. В «Доме мудрости» ученый работал в библиотеке и одно время даже возглавлял ее. Дата смерти Хорезми точно неизвестна. Предполагается, что он умер приблизительно в 850 году в Багдаде.

Важнейшим трудом Хорезми, давшим мощный толчок к развитию математики, стала книга «Китаб аль-джебр валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении»). Часть ее названия «аль-джебр» впоследствии трансформировалась в столь знакомое нам со школьной скамьи слово «алгебра». Даже само имя аль-Хорезми, претерпев изменения при переводе на латынь, тоже в конце концов стало всем знакомым термином «алгоритм». «Книга о восстановлении и противопоставлении» получила свое название от основных действий, которые автор использовал при решении математических уравнений. Трактат этот был написан по заказу аль-Мамуна, а выбор автора свидетельствует о том, что уже к моменту начала работы над книгой Хорезми смело можно было назвать одним из самых выдающихся ученых своего времени. Не удивительно, что книга имеет посвящение аль-Мамуну.

«Книга о восстановлении и противопоставлении» в основном посвящена решению уравнений первой и второй степени и применению математических законов на практике. Вот, к примеру, цитата, хорошо демонстрирующая практическую направленность книги: «Наиболее легкие и полезные навыки арифметики, например, то, что постоянно требуется человеку в делах наследования, получения наследства, раздела имущества, судебных разбирательствах, торговых отношениях или при измерении земельных участков, рытье каналов, геометрических вычислениях, а также в других случаях». Не удивительно, что неизвестное в уравнении автор называет «вещью», а его квадрат – «имуществом».

Вначале своей книги Хорезми дает определение натуральным числам и рассматривает десятичную систему исчисления: «Когда я поразмыслил над тем, что люди в основном пытаются найти в результате вычислений, я понял, что это всегда некое число. Также я отметил, что каждое число состоит из разрядов и может быть разделено на разряды. Более того, я обнаружил, что каждое число от 1 до 9 может быть выражено одной цифрой. Далее десятки удваиваются и утраиваются, также, как ранее единицы. Так появляются «двадцать», «тридцать» и так далее до ста. Затем, подобно единицам и десяткам, удваиваются и утраиваются сотни до тысячи;… и так далее до последнего предела исчисления».

Конечно, современному человеку, с раннего детства знакомому с десятичной системой, подобные объяснения могут показаться наивными, но во времена Хорезми далеко не для всех эта система была так очевидна. Кроме того, в данном случае ценность представляет не само объяснение, а обобщение, которое делает автор.

Далее Хорезми пишет о методах решения различных уравнений. Он приводит все уравнения к одной из шести стандартных форм:

– квадраты равны корням: ax^>2 = bx;

– квадраты равны числам: ax^>2 = c;

– корни равны числам: bx = c;

– квадраты и корни равны числам: x^>2 + bx = c;

– квадраты и числа равны корням: x^>2 + c = bx;

– корни и числа равны квадратам: x^>2 = bx + c.

Приведение уравнений автор предлагает осуществлять методами «аль-джебр» и «валь-мукабала» (восстановления и противопоставления). Под восстановлением он понимает перенесение вычитаемых членов из одной части уравнения в другую, под противопоставлением – сокращение в обеих частях уравнения равных членов.

Например, рассмотрим уравнение:

x^>2 + 5x – 7 = 9x.

После операции восстановления, уравнение примет вид: